Question

已知a=

∫

2 0

（2x²-x）dx，則（

3

2

ax-

1

x

）⁴的展開式中x的系數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：求定積分得到a的值，代入（

3

2

ax-

1

x

）⁴，寫出展開式的通項(xiàng)T_r+1，由x的指數(shù)等于0求得r的值，則展開式中x的系數(shù)可求．

解答： 解：∵a=

∫

2 0

（2x²-x）dx=(

2

3

x3-

1

2

x2)

|

2 0

=

2

3

×23-

1

2

×22=

10

3

，
∴（

3

2

ax-

1

x

）⁴=(

3

2

×

10

3

x-

1

x

)4=(5x-

1

x

)4．
由Tr+1=

C

r 4

(5x)4-r(-

1

x

)r=(-1)r•54-r•

C

r 4

•x4-

3

2

r．
令4-

3

2

r=1，得r=2．
∴（

3

2

ax-

1

x

）⁴的展開式中x的系數(shù)為(-1)2×25×

C

2 4

=150．
故答案為：150．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，考查二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，是中檔題．