Question

已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x）的一個“巧值點”．下列函數(shù)中，有“巧值點”的是（　�。�
①f（x）=x²；
②f（x）=e^-x；
③f（x）=lnx；
④f（x）=

1

x

．

• A、①③④
• B、③
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f（x₀）=f′（x₀）有解，即可得到結(jié)論．

解答： 解：①若f（x）=x²；則f′（x）=2x，
由x²=2x，得x=0或x=2，這個方程顯然有解，故①符合要求；
②若f（x）=e^-x；則f′（x）=-e^-x，即e^-x=-e^-x，此方程無解，②不符合要求；
③若f（x）=lnx，則f′（x）=

1

x

，
由ln x=

1

x

，數(shù)形結(jié)合可知該方程存在實數(shù)解，符合要求；
④若f（x）=

1

x

中，f′（x）=-

1

x2

，由-

1

x2

=

1

x

，可得x=-1為該方程的解，故④符合要求．
故選：A．

點評：本題主要考查函數(shù)方程問題，利用導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．