Question

【題目】已知函數 .

（1）當時，

①求曲線在點處的切線方程；

②求函數在區(qū)間上的值域.

（2）對于任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①②；（2）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得函數的解析式，

①利用導數研究切線方程可得曲線在點處的切線方程為.

②利用導函數研究函數的單調性可得在區(qū)間上的值域為.

(2)原問題等價于.構造函數，分類討論可得實數的取值范圍是.

試題解析：

（1）當時， ，

①，由， ，

則曲線在點處的切線方程為，整理為： .

②令，有，

當時， ，

當時，得，解得： ，

故當時， ，可得，函數在區(qū)間上單調遞減，

， ，

故函數在區(qū)間上的值域為.

（2）由，有，故可化為.

整理得： .

即函數在區(qū)間為增函數，

，

，故當時， ，即，

①當時， ；

②當時，整理為： ，

令，有 ，

當， ， ，有，

當時，函數單調遞減，故，

故有： ，可得.