Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=5，P是棱CC₁上的任意一點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)P在哪個(gè)位置時(shí)，AP⊥平面A₁BD？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：連接AC交BD于O，連接AC₁，先證明出BD⊥平面ACC₁，進(jìn)而可推斷出BD⊥AC₁，同理證明出AC₁⊥A₁B，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AC₁⊥平面A₁BD，即AP⊥平面A₁BD．

解答： 解：P與C₁重合時(shí)有AP⊥平面A₁BD，
證明如下，
連接AC交BD于O，連接AC₁，
∵AB=BC，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
∵CC₁?平面ACC₁，AC?平面ACC₁，CC₁∩AC=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴BD⊥AC₁，
同理AC₁⊥A₁B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，
P與C₁重合，
∴AP⊥平面A₁BD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵找到與面垂直的直線．