Question

已知x³-2x²+x-a＞0對一切x∈[

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2

，+∞）都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得a＜x³-2x²+x在[

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，+∞）恒成立，令f（x）=x³-2x²+x，求出導(dǎo)數(shù)，求得x∈[

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，+∞）的最小值，即可得到a的范圍．

解答： 解：x³-2x²+x-a＞0對一切x∈[

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，+∞）都成立，
即有a＜x³-2x²+x在[

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2

，+∞）恒成立，
令f（x）=x³-2x²+x，f′（x）=3x²-4x+1，
當(dāng)

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＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=1時，取得最小值，且為1-2+1=0，
則有a＜0．
即有a的取值范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評：本題考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，主要考查三次函數(shù)的最值求法，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．