Question

函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，當(dāng)x∈（-2.5，3]時(shí)．
①寫出函數(shù)f（x）的解析式；②作出函數(shù)f（x）的圖象；
③若直線y=mx與函數(shù)f（x）=[x]，x∈（-2.5，3]的圖象有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)f（x）=[x]的定義，利用分段函數(shù)求出函數(shù)的解析式，
②作出對(duì)應(yīng)的圖象即可．
③根據(jù)圖象，求出直線y=mx過特殊點(diǎn)的斜率，繼而求出m的范圍

解答： 解：①根據(jù)函數(shù)f（x）=[x]的定義可知：
當(dāng)-2.5＜x＜-2時(shí)，f（x）=-3，
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f（x）=-2，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=-1，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f（x）=1，
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，f（x）=2，
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）=3，
即
f(x)=

-3，-2.5＜x＜-2 -2，-2≤x＜-1 -1，-1≤x＜0 0，0≤x＜1 1，1≤x＜2 2，2≤x＜3 3，x=3

，
②對(duì)應(yīng)的圖象如右圖所示：
③直線y=mx是過原點(diǎn)的一條直線，如圖所示
當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，m=

1

2

，此時(shí)一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，m=

2

3

，此時(shí)一個(gè)交點(diǎn)，
由圖可以看出當(dāng)

1

2

＜m＜

2

3

時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線過點(diǎn)D時(shí)，m=2，此時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可以看出當(dāng)m＞2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述：m的取值范圍為（

1

2

，

2

3

）∪[2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，利用函數(shù)的定義建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，以及分段函數(shù)的畫法與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，屬于中檔題