Question

某同學參加語文、數(shù)學、英語3門課程的考試．假設(shè)該同學語文課程取得優(yōu)秀成績的概率為

4

5

，數(shù)學、英語課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為m，n（m＞n），且該同學3門課程都獲得優(yōu)秀的概率為

24

125

，該同學3門課程都未獲得優(yōu)秀的概率為

6

125

，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．
（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；
（Ⅱ） 記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程門數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件”ξ=0”是對立的，計算事件”ξ=0”的概率即可；
（II）由題意可知，ξ的可能取值為0，1，2，3，根據(jù)該同學3門課程都獲得優(yōu)秀的概率為

24

125

，該同學3門課程都未獲得優(yōu)秀的概率為

6

125

，確定m，n的值，進而可求ξ的取值為1，2時的概率，即可求得分布列與期望的值．

解答：解：設(shè)事件A_i表示：該生語文、數(shù)學、英語課程取得優(yōu)異成績，i=1，2，3．
由題意可知P(A1)=

4

5

，P（A₂）=m，P（A₃）=n
（I）由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件”ξ=0”是對立的，
所以該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1-P(ξ=0)=1-

6

125

=

119

125

（II）由題意可知，ξ的可能取值為0，1，2，3
P(ξ=0)=P(

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

)=(1-

4

5

)(1-m)(1-n)=

6

125

；
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3)=

4

5

mn=

24

125

；
解得m=

3

5

，n=

2

5

（m＞n）．
P(ξ=1)=P(A1   •

.

A2

•

.

A3

+

.

A1

•A2•

.

A3

+

.

A1

•

.

A2

•A3)
=

4

5

(1-m)(1-n)+

1

5

m(1-n)+

1

5

(1-m)n=

37

125

P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=

58

125

；
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	6 125	37 125	58 125	24 125

所以數(shù)學期望Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=

9

5

．

點評：本題考查對立事件，考查離散型隨機事件的分布列與期望，確定變量的取值，計算相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．