Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求的最大值；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值.（參考數(shù)據(jù)，）

Answer 1

【答案】（1）0；（2）3

【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，即可求解；

（2）先構(gòu)造兩函數(shù)之差為，本題轉(zhuǎn)化為，從而需分析的單調(diào)性.當(dāng)時，用特值法得，得到不合題意；當(dāng)時，分析的單調(diào)性得，再令 ，利用單調(diào)遞減和特值確定當(dāng)時，，得到整數(shù)a的最小值為3.

（1）

令，即，解得，令，即，

解得.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

的最大值為.

（2）令

所以.

當(dāng)時，因為，所以.

所以在上是遞增函數(shù)，

又因為，

所以關(guān)于x的不等式不能恒成立.

當(dāng)時，

令，得.

所以當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為，

令，

因為，，

且在是減函數(shù).

所以當(dāng)時，.

所以整數(shù)a的最小值為3.