Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為梯形，
AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2CD=2，AD=

2

，M、N分別為PD、PB的中點，平面MCN與PA交點為Q．
（Ⅰ）求證：CN∥平面PAD；
（Ⅱ）求PQ的長度；
（Ⅲ）求平面MCN與平面ABCD所成二面角的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：綜合法：（Ⅰ）取AP的中點E，連接DE，EN，由已知得四邊形CDEN為平行四邊形，由此能證明CN∥平面PAD．
（Ⅱ）取EP的中點，即為所求點Q，連接MQ，NQ，由已知得四點C，N，Q，M共面，由此能求出PQ=1．
（Ⅲ）連接ME，則平面EMN∥底面ABCD，平面QMN與平面EMN所成二面角即為平面MCN與底面ABCD所成二面角，由此能求出平面MCN與底面ABCD所成二面角的大�。�
向量法：（Ⅰ）以A為坐標原點，

AD

、

AB

、

AP

方向分別為x軸、y軸和z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明CN∥平面PAD．
（Ⅱ）由已知得CN∥平面PAD，CN∥MQ，設Q（0，0，t），利用向量法能求出PQ=1．
（Ⅲ）分別求出平面MCN的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面MCN與底面ABCD所成二面角的大小．

解答： （本小題滿分12分）
綜合法：
（Ⅰ）證明：取AP的中點E，連接DE，EN，
因為E、N分別是AP、BP的中點，
所以EN∥AB，EN=

1

2

AB，又因為CD∥AB，CD=

1

2

AB．
所以EN∥CD，EN=CD，
即四邊形CDEN為平行四邊形．所以CN∥DE，CN不在平面PAD內，
所以CN∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）解：取EP的中點，即為所求點Q，連接MQ，NQ．
因為MQ∥ED，故MQ∥CN，所以四點C，N，Q，M共面．
平面MCN與AP交點Q即為AP的四等分點，又因為AP=4，所以PQ=1．  …（8分）
（Ⅲ）解：連接ME，易證平面EMN∥底面ABCD．
平面QMN與平面EMN所成二面角即為平面MCN與底面ABCD所成二面角．
因為PA⊥平面ABCD，故PA⊥平面EMN，過E作EF⊥MN，垂足為F，連結QF，
則QF⊥MN，所以∠QFE為平面QMN與平面EMN所成二面角的平面角．
在直角三角形MEN中，則ME=

2

2

，EN=1，MN=

6

2

，從而EF=

3

3

，
所以tan∠QFE=

3

，故∠QFE=

π

3

．
所以平面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為

π

3

．                      …（12分）
向量法：
（Ⅰ）證明：如圖，以A為坐標原點，

AD

、

AB

、

AP

方向分別為x軸、y軸和z軸的正方向，
建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），D(

2

，0，0)，B（0，2，0），C(

2

，1，0)，
P（0，0，4），M(

2

2

，0，2)，N（0，1，2）．
由題意知

AB

是平面PAD的法向量，
又因為

CN

•

AB

=(-

2

，0，2)•(0，2，0)=0，
所以CN⊥AB，又因為CN不在平面PAD內，所以CN∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CN∥平面PAD，又CN在平面CNQM內，
平面CNQM與平面PAD的交線是MQ，所以CN∥MQ．
設Q（0，0，t），

MQ

=λ

CN

，
得(-

2

2

，0，t-2)=λ(-

2

，0，2)，
解得t=3，所以PQ=1．…（8分）
（Ⅲ）解：設平面MCN的法向量

n

=(x，y，z)．
由

MN • n =- 2 2 x+y=0 MC • n = 2 2 x+y-2z=0

，取y=1，得

n

=(

2

，1，1)…（10分）
又知平面ABCD的法向量為

m

=(0，0，1)
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

1• ( 2 )2+12+12

=

1

2

即平面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為

π

3

． …（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查線段長的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．