Question

已知A，B，C是△ABC的三內(nèi)角，

3

sinA-cosA=1
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,余弦定理,三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）先利用三角變換公式將其化簡(jiǎn)得sin（A-

π

6

）=

1

2

，從而由角A的范圍求得角A的值；
（2）先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式將已知三角函數(shù)式化為二次齊次式，再兩邊同除以cos²B得關(guān)于tanB的方程，解得tanB的值，再利用兩角和的正切公式計(jì)算所求值即可．

解答： 解：（1）∵A，B，C是△ABC的三內(nèi)角，

3

sinA-cosA=1
∴可得：2sin（A-

π

6

）=1，即有：sin（A-

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π，可得-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴可解得：A-

π

6

=

π

6

∴A=

π

3

．
（2）由

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3⇒

1+sin2B

cos2B

=-3⇒1+sin2B=-3cos2B⇒sin2B+3cos2B=-1．
可得：2sinBcosB+3（cos²B-sin²B）=-（sin²B+cos²B）
兩邊同除以cos²B得：2tanB+3（1-tan²B）=-（tan²B+1）
化簡(jiǎn)得tan²B-tanB-2=0
∴tanB=-1或tanB=2
若tanB=-1，則B=

3π

4

，此時(shí)A+B＞π，不合題意；
若tanB=2，則tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，三角變換公式在三角化簡(jiǎn)即求值中的應(yīng)用，二倍角公式及二次齊次式的解題技巧，屬基礎(chǔ)題．