Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1，則關(guān)于x方程f（x）-log₆（|x|+1）=0在x∈（-3，+∞）上解的個(gè)數(shù)是

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

B
分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性畫(huà)出圖象，進(jìn)而即可得到答案．
解答：①設(shè)x∈[-1，0]，則（-x）∈[0，1]，
又∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=-（x+1）．
由函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），∴f（x）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．
因此可以先畫(huà)出y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象，根據(jù)周期性即可畫(huà)出整個(gè)定義域內(nèi)的圖象．
②先畫(huà)出g（x）=log₆（|x|+1）=log₆（x+1）在[0，+∞）上的圖象，根據(jù)其奇偶性即可畫(huà)出（-3，0）上的圖象．
由圖象可以看出：函數(shù)f（x）的值域是[0，1]；當(dāng)x=±5時(shí)，g（x）=1，即x∈（-3，5]時(shí)，g（x）∈[0，1]，
當(dāng)x＞5時(shí)，g（x）＞1．
由圖象和上面的分析可知：函數(shù)y=f（x） 與y=g（x）在區(qū)間（-3，+∞）上有且僅有8個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x方程f（x）-log₆（|x|+1）=0在x∈（-3，+∞）上解的個(gè)數(shù)是8．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性及畫(huà)出圖象是解題的關(guān)鍵．