Question

11．已知m、n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值為2，證明：4（m²+$\frac{{n}^{2}}{4}$）的最小值為8．

Answer 1

分析 （1）對x與-m，$\frac{n}{2}$的大小關(guān)系分類討論，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：m、n∈R⁺，
當x≥$\frac{n}{2}$時，f（x）=x+m+2x-n=3x+m-n，當x=$\frac{n}{2}$時，取得最小值m+$\frac{n}{2}$；
當-m≤x≤$\frac{n}{2}$時，f（x）=x+m+n-2x=-x+m+n，當x=$\frac{n}{2}$時，取得最小值m+$\frac{n}{2}$；
當x≤-m時，f（x）=-（x+m）-（2x-n）=-3x-m+n，當x=-m時，取得最小值2m+n．
∵2m+n-$（m+\frac{n}{2}）$=m+$\frac{n}{2}$＞0．
∴x=$\frac{n}{2}$時，f（x）的最小值為m+$\frac{n}{2}$．
（2）證明：由（1）可知：m+$\frac{n}{2}$=2，m、n∈R⁺，
∴4（m²+$\frac{{n}^{2}}{4}$）≥2$（m+\frac{n}{2}）^{2}$=8，當且僅當m=$\frac{n}{2}$=1時取等號．

點評 本題考查了一次函數(shù)的單調(diào)性、絕對值函數(shù)、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．