Question

已知點（1，

1

3

）是函數f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求常數c；
（2）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（3）若數列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，問T_n＞

1000

2009

的最小正整數n是多少？

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）先根據點（1，

1

3

）在f（x）=a^x上求出a的值，從而確定函數f（x）的解析式，由等比數列前三項求得c；
（2）由等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c，求出數列{a_n}的公比和首項，得到數列{a_n}的通項公式；由數列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，可得到數列
{

Sn

}構成一個首項為1公差為1的等差數列，進而得到數列{

Sn

}的通項公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項公式；
（3）先表示出T_n再利用裂項法求得的表達式T_n，根據T_n＞

1000

2009

求得n．

解答： 解：（1）由已知f（1）=a=

1

3

，
∴f（x）=(

1

3

)x，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c=(

1

3

)n-c，
∴a₁=f（1）=

1

3

-c，
a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

，
數列{a_n}是等比數列，應有

a2

a1

=

a3

a2

=q，解得c=1，q=

1

3

；
（2）由（1）知，首項a₁=f（1）=

1

3

-c=-

2

3

，
∴等比數列{a_n}的通項公式為a_n=（-

2

3

）•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n；
∵S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

，（n≥2），
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

）=1；
∴數列{

Sn

}構成一個首項為1，公差為1的等差數列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²，
當n=1時，b₁=S₁=1，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又n=1時也適合上式，
∴{b_n}的通項公式b_n=2n-1；
（3）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，由T_n＞

1000

2009

的，得

n

2n+1

＞

1000

2009

，n＞

1000

9

，
故滿足T_n＞

1000

2009

的最小正整數為112．

點評：本題考查了求數列通項中的兩種題型：構造等差（等比）數列法，利用a_n，s_n的關系求解，以及裂項法數列求和．與函數、不等式相聯系，增加了綜合性．要求具有綜合分析問題，解決問題的能力，是壓軸題．