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7.兩圓內(nèi)切于T,CD是大圓的弦,且CD切小圓于E點(diǎn),連接TC,TD交小圓于A,B兩點(diǎn),TE的延長線交大圓于F,連接AB.
(1)求證:AB∥CD
(2)∠CTF=∠DTF
(3)DF2-EF2=CE•DE.

分析 (1)過T作出兩圓的公切線TM,利用弦切角定理,可得結(jié)論;
(2)TM是兩圓的公切線,CD切小圓于E點(diǎn),∠MTE=∠DET,結(jié)合(1)的結(jié)論,即可證明;
(3)利用三角形相似,結(jié)合相交弦定理進(jìn)行證明.

解答 證明:(1)過T作出兩圓的公切線TM,則
∠BTM=∠TAB,∠BTN=∠TCD,
∴∠TAB=∠TCD,
∴AB∥CD;
(2)∵TM是兩圓的公切線,CD切小圓于E點(diǎn),
∴∠MTE=∠DET,
∵∠MTE=∠BTM+∠DTF
∠DET=∠TCD+∠CTF,∠BTM=∠TCD,
∴∠CTF=∠DTF
(3)由(2)可得∠DTF=∠EDF,
∴∠DFT=∠EFD,
∴△DTF∽△EDF,
DFEF=TFDF,
∴DF2=EF•TF=EF•(EF+TE)=EF2+EF•TE,
∴DF2-EF2=EF•TE.
∵EF•TE=CE•DE,
∴DF2-EF2=CE•DE.

點(diǎn)評 本題考查弦切角定理、相交弦定理,考查三角形相似的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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成績等級ABCDE
成績(分)9070604030
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(1)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級為“A或B”的概率;
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