Question

已知橢圓C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）與雙曲線C₂：

x2

a22

-

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，a₁，a₂又分別是兩曲線的離心率，若PF₁⊥PF₂，則4e₁²+e₂²的最小值為（　�。�

• A、

  5

  2

• B、4
• C、

  9

  2

• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實(shí)軸為2a₂，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e₁²+e₂²的最小值．

解答： 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實(shí)軸為2a₂，
令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由橢圓定義|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c²，③
①²+②²，得|PF1|2+|PF2|2=2a12+2a22，④
將④代入③，得a12+a22=2c2，
∴4e₁²+e22=

4c2

a12

+

c2

a22

=

4(a12+a22)

2a12

+

a12+a22

2a22

=

5

2

+

2a22

a12

+

a12

2a22

≥

5

2

+2

2a22 a12 • a12 2a22

=

9

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查4e₁²+e₂²的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運(yùn)用．