Question

若函數f（x）=

x+3x，x≤0 1 3 x3-4x+ a 3 ，x＞0

在其定義域上只有一個零點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞16
• B、a≥16
• C、a＜16
• D、a≤16

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：根據函數的單調性畫出函數的圖象，及題意其定義域R上有且只有一個零點，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：①當x≤0時，f（x）=x+3^x．
∵函數y=x與y=3^x在x≤0時都單調遞增，
∴函數f（x）=x+3^x在區(qū)間（-∞，0]上也單調遞增．
又f（-1）＜0，f（0）=1＞0，
∴函數f（x）在（-1，0）內有一個零點，如圖所示．
②當x＞0時，f（x）=

1

3

x3-4x+

a

3

．
∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
當0＜x＜2時，f′（x）＜0；當x＞2時，f′（x）＞0．
∴函數f（x）在區(qū)間（0，2）上單調遞減；在區(qū)間（2，+∞）上單調遞增．
∴函數f（x）在x=2時求得極小值，也即在x＞0時的最小值．
∵函數f（x）在其定義域R上有且只有一個零點，且由（1）可知在區(qū)間（-1，0）內已經有一個零點了，所以在區(qū)間（0，+∞）上沒有零點，
∴必須滿足f（2）＞0，即

23

3

-8+

a

3

＞0，解得a＞16．
故選：A．

點評：利用導數得出函數的單調性并畫出圖象是解題的關鍵．