Question

已知函數(shù)g（x）=log₂（1-x），u（x）=log₂（1+x），f（x）=g（x）-u（x）
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂（x-k）有實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=g（x）-u（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x），
由

1-x＞0 1+x＞0

，解得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域為（-1，1），
f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-[log₂（1-x）-log₂（1+x）]=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)．
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實根，等價為

1-x

1+x

=x-k，
即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）內(nèi)有解，
設(shè)y=x-

1-x

1+x

，則y=x+1-

2

1+x

，
設(shè)t=1+x，則t∈（0，2），
∵y=t-

2

t

在t∈（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，則y＜1，
∴k＜1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．