Question

如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BE，DC的中點(diǎn).

(1)求證：GF平面ADE                                               

(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

 

Answer 1

解法一：（1）如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，

又G是BE的中點(diǎn)，

，

又F是CD中點(diǎn)，，

由四邊形ABCD是矩形得，，

所以.

從而四邊形HGFD是平行四邊形，，

又，所以.

(2)如圖，在平面BEG內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作,因?yàn)?sub>

又因?yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ

以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)

因?yàn)锳B平面BEC，所以為平面BEC的法向量，

設(shè)為平面AEF的法向量.又

由取得.

從而

所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為.

解法二：(1)如圖，取AB中點(diǎn)M，連接MG，MF，

又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE，

又，

所以GM平面ADE.

在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點(diǎn)得ＭＦＡＤ．

又，所以．

又因?yàn)?sub>，

所以平面ＡＤＥ，

因?yàn)?sub>，所以

（２）同解法一．