Question

設(shè)復(fù)數(shù)x=z是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0的虛根，證明x=

.

z

也是該方程的根．

Answer 1

考點(diǎn)：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用方程根的關(guān)系代入方程，然后推出共軛復(fù)數(shù)的滿足題意．即可．

解答： 證明：復(fù)數(shù)x=z是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0的虛根，設(shè)z=α+βi，則：a（α+βi）²+b（α+βi）+c=0，
可得a（α²-β²）+bα+c+（2aαβ+bβ）i=0．
可得a（α²-β²）+bα+c=0且2aαβ+bβ=0．
可得：a（α²-β²）+bα+c-（2aαβ+bβ）i=0．
即a（α-βi）²+b（α-βi）+c=0．
因?yàn)棣?βi與α+βi是共軛復(fù)數(shù)，
可知x=

.

z

也是該方程ax²+bx+c=0的根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)的驗(yàn)證，基本知識(shí)的考查．