計(jì)一幅宣傳畫(huà),要求畫(huà)面面積為4840cm2,畫(huà)面的寬與高的比為λ(λ<1),畫(huà)面的上、下各留8cm空白,左、右各留5cm空白.怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸,能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最��?如果要求λ∈[
2
3
,
3
4
]
,那么λ為何值時(shí),能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最�。�
分析:設(shè)畫(huà)面高為xcm,寬為λxcm,則依題意可求得宣傳畫(huà)面積的表達(dá)式,設(shè)紙張面積為S,根據(jù)題意得S=(x+16)(λx+10)把前面求得x代入,整理后,根據(jù)均值不等式求得S的最小值,進(jìn)而求得此時(shí)的寬和高.如果λ∈[
2
3
,
3
4
],根據(jù)求函數(shù)單調(diào)性的方法,設(shè)
2
3
λ1λ2
3
4
,求得S(λ1)-S(λ2)<0,判斷出函數(shù)在[
2
3
,
3
4
]內(nèi)單調(diào)遞增,進(jìn)而可知λ=
2
3
時(shí),S(λ)取得最小值.
解答:解:設(shè)畫(huà)面高為xcm,寬為λxcm,
則λx2=4840
設(shè)紙張面積為S,則有
S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,
將x=
22
10
λ
代入上式得
S=5000+44
10
(8
λ
+
5
λ
)

當(dāng)8
λ
=
5
λ
,即λ=
5
8
(
5
8
<1)
時(shí),
S取得最小值,
此時(shí)高:x=
4840
λ
=88
cm,
寬:λx=
5
8
×88=55
cm
如果λ∈[
2
3
3
4
],
可設(shè)
2
3
λ1λ2
3
4

則由S的表達(dá)式得
S(λ1)-S(λ2
=44
10
(8
λ1
+
5
λ1
-8
λ2
-
5
λ2
)

=44
10
(
λ1
-
λ2
)(8-
5
λ11λ2
)

由于
λ1λ2
2
3
5
8
,故8-
5
λ1λ2
>0

因此S(λ1)-S(λ2)<0,
所以S(λ)在區(qū)間[
2
3
3
4
]內(nèi)單調(diào)遞增.
從而,對(duì)于λ∈[
2
3
,
3
4
],
當(dāng)λ=
2
3
時(shí),S(λ)取得最小值
答:畫(huà)面高為88cm、寬為55cm時(shí),
所用紙張面積最小;
如果要求λ∈[
2
3
,
3
4
],當(dāng)λ=
2
3
時(shí),
所用紙張面積最�。�
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.在用均值不等式的時(shí)候要特別注意要驗(yàn)證一下等號(hào)是否能取到.
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