Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若n∈N^*，求

lim

n→∞

af(n)

an+a

；
（3）當(dāng)a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，設(shè)h（x）=（1-e^f（x））（x²-m+1）．若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)h（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式求出定義域；求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0函數(shù)得到遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）求出f（n）代入極限式，利用特殊函數(shù)的極限值求出極限．
（3）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，導(dǎo)函數(shù)是否有根進(jìn)行分類討論；導(dǎo)函數(shù)的根是否在定義域內(nèi)再一次引起分類討論，利用極值的定義求出極值．

解答：解：（1）由題意知，1-a^x＞0
所以當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的定義域是（0，+∞），a＞1時，f（x）的定義域是（-∞，0），
f′（x）=

-axlna

1-ax

•lo

g

e a

=

ax

ax-1

當(dāng)0＜a＜1時，x∈（0，+∞），因?yàn)閍^x-1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)a＞1時，x∈（-∞，0），因?yàn)閍^x-1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是減函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（n）=log_a（1-aⁿ），所以a^f（n）=1-aⁿ，由函數(shù)定義域知1-aⁿ＞0，因?yàn)閚是正整數(shù)，故0＜a＜1，
所以

lim

n→∞

af(n)

an+a

=

lim

n→∞

1-an

an+a

=

1

a

．

（3）h（x）=e^x（x²-m+1）（x＜0），所以h'（x）=e^x（x²+2x-m+1），令h'（x）=0，即x²+2x-m+1=0，由題意應(yīng)有△≥0，即m≥0．
①當(dāng)m=0時，h'（x）=0有實(shí)根x=-1，在x=-1點(diǎn)左右兩側(cè)均有h'（x）＞0，故h（x）無極值．
②當(dāng)0＜m＜1時，h'（x）=0有兩個實(shí)根x1=-1-

m

，x2=-1+

m

．當(dāng)x變化時，h'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，0）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴h（x）的極大值為2e-1-

m

(1+

m

)，h（x）的極小值為2e-1+

m

(1-

m

)．
③當(dāng)m≥1時，h'（x）=0在定義域內(nèi)有一個實(shí)根x=-1-

m

．
同上可得h（x）的極大值為2e-1-

m

(1+

m

)．
綜上所述，m∈（0，+∞）時，函數(shù)h（x）有極值．
當(dāng)0＜m＜1時，h（x）的極大值為2e-1-

m

(1+

m

)，h（x）的極小值為2e-1+

m

(1-

m

)．
當(dāng)m≥1時，h（x）的極大值為2e-1-

m

(1+

m

)．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的符號討論函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；在含參數(shù)的函數(shù)中需要分類討論．