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20.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率等于32,以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為45,直線,l:y=kx+m與y軸交干點(diǎn)P,與橢圓E相交于A、B兩個(gè)點(diǎn).
(I)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若AP=3PB,求m2的取值范圍.

分析 (I)設(shè)橢圓的方程為y2a2+x22=1(a>b>0),運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)由題意可得P(0,m),且-2<m<2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和直線方程代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,可得m2=4+k21+k2=1+31+k2,再由不等式的性質(zhì),可得所求范圍.

解答 解:(I)設(shè)橢圓的方程為y2a2+x22=1(a>b>0),
由題意可得e=ca=32,4a2+2=45
a2-b2=c2,
解得a=2,b=1,c=3
即有橢圓的方程為y24+x2=1;
(Ⅱ)由題意可得P(0,m),且-2<m<2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
AP=3PB,可得-x1=3x2,①
由直線y=kx+m代入橢圓方程y2+4x2=4,
可得(4+k2)x2+2kmx+m2-4=0,
即有x1+x2=-2km4+k2,x1x2=m244+k2,②
由①②可得m2=4+k21+k2=1+31+k2,
由1+k2≥1,可得0<31+k2≤3,
即有1<m2≤4,由于m∈(-2,2),
可得m2的取值范圍是(1,4).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系,考查向量共線的坐標(biāo)表示,以及直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.甲、乙兩位同學(xué)填空題的成績(jī)的中位數(shù)都是15
B.甲同學(xué)填空題的成績(jī)的眾數(shù)是15
C.乙同學(xué)填空題的成績(jī)的眾數(shù)是20
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③在一個(gè)算法的程序框圖中一定要用順序結(jié)構(gòu);
④在一個(gè)算法的程序框圖中條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)至少要用一個(gè),
其中說法正確的個(gè)數(shù)是( �。�
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