解:(I)∵a
n+1=a
n+1,n∈N
*,∴a
n+1-a
n=1,n∈N
*…(2分)
∴數(shù)列{a
n}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列. …(4分)
∴a
n=n+1…(5分)
( II)∵a
n=n+1,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535923.png)
. …(6分)
∴要使b
n+1>b
n恒成立,
只要
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535924.png)
恒成立,
∴3•4
n-3λ•(-1)
n-12
n+1>0恒成立,
∴(-1)
n-1λ<2
n-1恒成立. …(8分)
(ⅰ)當(dāng)n為奇數(shù)時,即λ<2
n-1恒成立,由于當(dāng)且僅當(dāng)n=1時,2
n-1有最小值為1,∴λ<1. …(10分)
(ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時,即λ>-2
n-1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時,-2
n-1有最大值-2,
∴λ>-2…(12分)
綜上知-2<λ<1,再由λ為非零整數(shù),可得λ=-1.
綜上所述,存在λ=-1,使得對任意n∈N
*,都有b
n+1>b
n. …(13分)
分析:(I)由a
n+1=a
n+1,n∈N
*,可得數(shù)列{a
n}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,從而求得數(shù)列{a
n}的通項公式.
(II)先求出{b
n}的通項公式,由條件可得(-1)
n-1λ<2
n-1恒成立,分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)分別求出λ的取值范圍,再由λ為非零整數(shù),可得λ的值.
點評:本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性,函數(shù)的恒成立問題,等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.