Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$k≥\frac{lnx+1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}（{x＞0}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）--------------------------（1分）
（1）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=lnx-2x+1，則$f'（x）=\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$-------------------------（3分）
由$f'（x）＞0⇒0＜x＜\frac{1}{2}$，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為$（{0，\frac{1}{2}}）$．-----------------------------------（6分）
（2）由f（x）≤0得kx≥lnx+1，即$k≥\frac{lnx+1}{x}$在（0，+∞）上恒成立．----------------------------------（7分）
令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}（{x＞0}）$，則$g'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$．---------------------------------------------（8分）
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1．--------------------------------------------（9分）
所以g（x）在（0，1）為增區(qū)間，在（1，+∞）為減區(qū)間，--------------------------------------------（10分）
所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）_max=g（1）=1．故k≥1．--------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．