已知定義的R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4-x),又函數(shù)f(x+2)在[0,+∞)單調(diào)遞減.
(1)求不等式f(3x)>f(2x-1)的解集;
(2)設(shè)(1)中的解集為A,對(duì)于任意t∈A時(shí),不等式x2+(t-2)x+1-t>0恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解:(1)∵f(x)=f(4-x)∴f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
又∵f(x+2)在[0,+∞)上單調(diào)遞減
∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減
∴不等式f(3x)>f(2x-1)等價(jià)于:|3x-2|<|2x-1-2|?(3x-2)2<(2x-3)2?(5x-5)(x+1)<0?-1<x<1
∴原不等式的解集為(-1,1)
(2)令g(t)=(x-1)t+(x2-2x+1)是關(guān)于t的函數(shù).
∵t∈(-1,1)時(shí),不等式x2+(t-2)x+(1-t)>0恒成立
即使g(t)>0在t∈(-1,1)上恒成立
當(dāng)x≠1時(shí),?x≤0或x=1或x≥2
∴x≤0或x≥2
當(dāng)x=1時(shí),0>0恒不成立,∴x≠1
綜上,x∈(-∞,0]∪[2,+∞]
分析:(1)由已知中定義的R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4-x),可得直線x=2是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,又函數(shù)f(x+2)在[0,+∞)單調(diào)遞減我們易判斷出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可將不等式f(3x)>f(2x-1)轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對(duì)值不等式,進(jìn)而得到答案.
(2)由(1)易得參數(shù)t的取值范圍,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),我們可以構(gòu)造出關(guān)于x的不等式組,解不等式組即可求出實(shí)數(shù)x的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),其中(1)的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性,(2)的關(guān)鍵是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為解不等式組問題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+
a2x
,a為常數(shù),若f(x)為偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義給予證明;
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),
(1)求f(0),并寫出適合條件的函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式;
(2)數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)

①求通項(xiàng)公式an的表達(dá)式;
②令bn=(
1
2
)an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,試比較Sn
4
3
Tn
的大小,并加以證明;
③當(dāng)a>1時(shí),不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(log a+1x-log ax+1)
對(duì)于不小于2的正整數(shù)n恒成立,求x的取值范圍.

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(2003•崇文區(qū)一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)不恒為零,且滿足f(x-2)=f(x+2),f(2-x)=f(2+x),則f(x)( 。

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(2009•臺(tái)州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx+c(a,b,c∈R),當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值3,f(0)=1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知實(shí)數(shù)t能使函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,t+3)上既能取到極大值,又能取到極小值,記所有的實(shí)數(shù)t組成的集合為M.請(qǐng)判斷函數(shù)g(x)=
f(x)x
(x∈M)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)0≤x<2時(shí),f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,6]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( 。
A、6B、9C、8D、7

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