Question

已知定義的R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（4-x），又函數(shù)f（x+2）在[0，+∞）單調(diào)遞減．
（1）求不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集；
（2）設(shè)（1）中的解集為A，對(duì)于任意t∈A時(shí)，不等式x²+（t-2）x+1-t＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=f（4-x）∴f（x）圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
又∵f（x+2）在[0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）等價(jià)于：|3x-2|＜|2x-1-2|?（3x-2）²＜（2x-3）²?（5x-5）（x+1）＜0?-1＜x＜1
∴原不等式的解集為（-1，1）
（2）令g（t）=（x-1）t+（x²-2x+1）是關(guān)于t的函數(shù)．
∵t∈（-1，1）時(shí)，不等式x²+（t-2）x+（1-t）＞0恒成立
即使g（t）＞0在t∈（-1，1）上恒成立
當(dāng)x≠1時(shí)，?x≤0或x=1或x≥2
∴x≤0或x≥2
當(dāng)x=1時(shí)，0＞0恒不成立，∴x≠1
綜上，x∈（-∞，0]∪[2，+∞]
分析：（1）由已知中定義的R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（4-x），可得直線x=2是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，又函數(shù)f（x+2）在[0，+∞）單調(diào)遞減我們易判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可將不等式f（3x）＞f（2x-1）轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對(duì)值不等式，進(jìn)而得到答案．
（2）由（1）易得參數(shù)t的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以構(gòu)造出關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，（2）的關(guān)鍵是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為解不等式組問題．