Question

如圖棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點．

（1）求證：A₁B₁∥平面ABE；
（2）求三棱錐V_E-ABC的體積．（V=

1

3

sh）

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由A₁B₁∥AB，能證明A₁B₁∥平面ABE．
（2）由已知得EC⊥平面ABC，且EC=1，S_△ABC=

1

2

×2×2=2，由此能求出三棱錐V_E-ABC的體積．

解答： （1）證明：∵棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁B₁∥AB，且A₁B₁?平面ABE，AB?平面ABE，
∴A₁B₁∥平面ABE．
（2）解：∵棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點．
∴EC⊥平面ABC，且EC=1，
又∵S_△ABC=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐V_E-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC•EC=

1

3

×2×1=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是基礎題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．