Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜0，-

π

2

＜ω＜0）的相鄰對稱軸之間的距離為

π

2

，且該函數(shù)圖象的一個最高點為（

5π

12

，4）
（1）求函數(shù)f（x）解析式和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函數(shù) f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)條件確定A，和函數(shù)的周期即可求函數(shù)f（x）解析式和單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出2x-

π

3

的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可，求函數(shù) f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由題意得A=4，T=

2π

ω

=π，即ω=2，
則f（x）=4sin（2x+φ），
由f（

5π

12

）=4sin（2×

5π

12

+φ）=4，且-

π

2

＜φ＜0，
得φ=-

π

3

，
即f（x）=4sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
即函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，
則2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
2≤4sin（2x-

π

3

）≤4．
即函數(shù) f（x）的最大值為4，最小值為2．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值．