Question

已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	1	-	2
y		0	-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）過點曲線的C₂的焦點B的直線l與曲線C₁交于M、N兩點，與y軸交于E點，若=λ₁，=λ₂，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px，則有（x≠0），
據此驗證4個點知（1，）、（2，-4）在拋物線上，易求y²=8x…（2分）
設C₁：（a＞b＞0），把點（-，0）（，）代入得：C₁方程為…（5分）
（Ⅱ）證明：設M，N，E點的坐標分別為M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），
又易知B點的坐標為（2，0）．且點B在橢圓C₁內，故過點B的直線l必與橢圓相交．
∵=λ₁，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁）
∴，． …（8分）
將M點坐標代入到橢圓方程中得：，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0． …（10分）
同理，由可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0． …（12分）
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的兩個根，∴λ₁+λ₂=10．…（14分）
分析：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px，則有（x≠0），據此驗證4個點知（1，）、（2，-4）在拋物線上可求拋物線方程，設C₁：（a＞b＞0），把點（-，0）（，）代入可求橢圓方程
（Ⅱ）證明：設M，N，E點的坐標分別為M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），B（2，0）．由點B在橢圓C₁內，故過點B的直線l必與橢圓相交．=λ₁，可得（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁），將M點坐標代入到橢圓方程可得，由同理可求，從而可求
點評：本題主要考查了拋物線的方程及橢圓方程的求解，直線與橢圓的位置關系的應用，考查了計算的能力．