Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=17，S₁₀=100．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意等差數(shù)列{a_n}中a₂=17，S₁₀=100，利用通項公式及前n項和公式建立首項與公差的方程求出即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）首先利用誘導(dǎo)公式以及（I）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，然后當n為奇數(shù)時T_n=b₁+b₂++b_n=，當n為奇數(shù)時，T_n=b₁+b₂+…+b_n==2ⁿ⁺¹+n-22，即可求出結(jié)果．
解答：解：（I）設(shè)a_n首項為a₁，公差為d，
則解得（5分）∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n（7分）
（II）∵b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
當n為偶數(shù)時，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=（10分）
當n為奇數(shù)時，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=
==2ⁿ⁺¹+n-22（13分）
∴（14分）
點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，（II）問要注意對n的奇偶性進行討論，屬于中檔題．