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1.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn=an2+3an+2,且a2是a1和a6的等比中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)符合[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),如[log23]=1,[log25]=2.記bn=[log2an+53],求數(shù)列{2nb2n}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (I)由6Sn=an2+3an+2,當(dāng)n≥2時(shí),6Sn1=a2n1+3an1+2,可得:6an=a2n-a2n1+3an-3an-1,化為(an+an-1)(an-an-1-3)=0,根據(jù)數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、a2是a1和a6的等比中項(xiàng)即可得出.
(II)bn=[log2an+53]=[log2(n+1)],可得2n=[log22n+1]=n,2n2n=n•2n.利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(I)由6Sn=an2+3an+2,當(dāng)n≥2時(shí),6Sn1=a2n1+3an1+2,可得:6an=a2n-a2n1+3an-3an-1
化為(an+an-1)(an-an-1-3)=0,
∵數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,∴an+an-1>0,可得an-an-1=3,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為3.
由6a1=a21+3a1+2,解得a1=1或2.
當(dāng)a1=2時(shí),an=2+3(n-1)=3n-1,可得a2=5,a6=17,不滿足a2是a1和a6的等比中項(xiàng),舍去.
當(dāng)a1=1時(shí),an=1+3(n-1)=3n-2,可得a2=4,a6=16,滿足a2是a1和a6的等比中項(xiàng).
∴an=3n-2.
(II)bn=[log2an+53]=[log2(n+1)],∴2n=[log22n+1]=n,
2n2n=n•2n
∴數(shù)列{2nb2n}的前n項(xiàng)和Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n
2Tn=22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1,
∴-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=2×2n121-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2,
∴Tn=(n-1)•2n+1+2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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