Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n；數(shù)列{b_n}滿足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9項(xiàng)和為153．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．由b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，可知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．由于前9項(xiàng)和為153，利用前n項(xiàng)和公式即可得出．
（II）c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

=

6

(2n+10-11)(6n+4-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

+

11

2

=6；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

11

2

n-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=n+5．
∵b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
∵前9項(xiàng)和為153，
∴153=9b₁+

9×8

2

d，b₃=b₁+2d=11．解得b₁=5，d=3．
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II）c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

=

6

(2n+10-11)(6n+4-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．