Question

長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，如果點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，且

MB

=2

AM

．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C與x軸的正半軸交于點(diǎn)N，且與直線l：y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)P、Q（不同于點(diǎn)N），若NP⊥NQ，試判斷直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用代入法，根據(jù)

MB

=2

AM

，|AB|=3，可求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以AB為直徑的圓過點(diǎn)D（2，0），即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），A（x₁，0），B（0，y₂），則
∵

MB

=2

AM

，
∴（-x，y₂-y）=2（x-x₁，y），
∴x₁=

3

2

x，y₂=3y，
∴|AB|=3，
∴x₁²+y₂²=9，
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1；   
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則N（2，0）
直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0
∴x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵NP⊥NQ，
∴k_NPk_NQ=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

-2•（-

8mk

3+4k2

）+4=0
∴7m²+16mk+4k²=0
∴m=-2k或m=-

2k

7

，均滿足△=3+4k²-m²＞0
當(dāng)m=-2k時(shí)，l的方程為y=k（x-2），直線過點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)，l的方程為y=k（x-

2

7

），直線過點(diǎn)（

2

7

，0），
∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

7

，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．