Question

7．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x+1，g（x）=kx+1-lnx．
（1）設(shè)函數(shù)$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜1\\ g（x），x≥1\end{array}\right.$，當(dāng)k＜0時(shí)，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若過點(diǎn)P（a，-4）恰有三條直線與曲線y=f（x）相切，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，求導(dǎo)數(shù)，切點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性，即可討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，由切線方程，化簡(jiǎn)得三次函數(shù)，將題目條件化為函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=（2x+1）（x-1）²=0，x=-$\frac{1}{2}$或1，∴x=-$\frac{1}{2}$是h（x）的零點(diǎn)；
∵g′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）的最大值為g（1）=k+1．
k＜-1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上無零點(diǎn)；
k=-1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)；
-1＜k＜0，g（1）＞0，g（e^1-k）=ke^1-k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，k＜-1時(shí)，h（x）有1個(gè)零點(diǎn)；-1≤k＜0時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）設(shè)切點(diǎn)（t，f（t）），f′（x）=6x²-6x，∴切線斜率f′（t）=6t²-6t，
∴切線方程為y-f（t）=（6t²-6t）（x-t），
∵切線過P（a，-4），∴-4-f（t）=（6t²-6t）（a-t），
∴4t³-3t²-6t²a+6ta-5=0①
由題意，方程①有3個(gè)不同的解．
令H（t）=4t³-3t²-6t²a+6ta-5，則H′（t）=12t²-6t-12at+6a=0．t=$\frac{1}{2}$或a．
a=$\frac{1}{2}$時(shí)，H′（t）≥0，H（t）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，H（t）不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，方程①不可能有兩個(gè)解，不滿足題意；
a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，在（-$∞，\frac{1}{2}$），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，a）上，H′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，H（t）的極大值為H（$\frac{1}{2}$），極小值為H（a）；
a$＜\frac{1}{2}$時(shí)，在（-∞，a），（$\frac{1}{2}$，+∞）上，H′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，在（a，$\frac{1}{2}$）上，H′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，H（t）的極大值為H（a），極小值為H（$\frac{1}{2}$）；
要使方程①有三個(gè)不同解，則H（$\frac{1}{2}$）H（a）＜0，即（2a-7）（a+1）（2a²-5a+5）＞0，
∴a＞$\frac{7}{2}$或a＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了斜率的表示方法，用到函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于難題．