Question

（2013•河?xùn)|區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為

5 2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求斜率k的值；
②已知點M(-

7

3

，0)，求證：

MA

•

MB

為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關(guān)系，建立等式，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及線段AB中點的橫坐標(biāo)為-

1

2

，即可求斜率k的值；
②利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積公式，計算即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：因為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)滿足a²=b²+c²，

c

a

=

6

3

，…（2分）
根據(jù)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為

5 2

3

，可得

1

2

×b×2c=

5 2

3

．
從而可解得a2=5，b2=

5

3

，
所以橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1…（4分）
（2）證明：①將y=k（x+1）代入

x2

5

+

y2

5 3

=1中，消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（6分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，x1+x2=-

6k2

3k2+1

…（7分）
因為AB中點的橫坐標(biāo)為-

1

2

，所以-

3k2

3k2+1

=-

1

2

，解得k=±

3

3

…（9分）
②由①知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

所以

MA

•

MB

=(x1+

7

3

，y1)(x2+

7

3

，y2)=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+y1y2…（11分）
=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(

7

3

+k2)(x1+x2)+

49

9

+k2…（12分）
=(1+k2)

3k2-5

3k2+1

+(

7

3

+k2)(-

6k2

3k2+1

)+

49

9

+k2=

-3k4-16k2-5

3k2+1

+

49

9

+k2=

4

9

…（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)．