Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求三棱錐C-BPD的高；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間角

分析：（1）由菱形的性質，得AC⊥BD；由PA⊥平面ABCD證出PA⊥BD，結合AC、PA是平面PAC內(nèi)的相交直線，可得BD⊥平面PAC．
（2）以A為原天，以平面ABCD中過A垂直于AD的直線為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐C-BPD的高．
（3）分別求出平面BPC的法向量和平面DPC的法向量，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： 解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
又∵AC、PA是平面PAC內(nèi)的相交直線，
∴直線BD⊥平面PAC．
（2）解：以A為原點，以平面ABCD中過A垂直于AD的直線為x軸，以AD為y軸，
以AP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意知C（

3

，3，0），B（

3

，1，0），
P（0，0，2），D（0，2，0），

PB

=(

3

，1，-2)，

PD

=(0，2，-2)，

PC

=(

3

，3，-2)，
設平面PBD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB = 3 x+y-2z=0 n • PD =2y-2z=0

，
取y=1，得

n

=(

3

3

，1，1)，
∴三棱錐C-BPD的高：
h=

| n • PC |

| n |

=

|1+3-2|

7 3

=

2 21

7

．
（3）解：設平面BPC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • PB = 3 x1+y1-2z1=0 m • PC = 3 x1+3y1-2z1=0

，
取x₁=2

3

，得

m

=（2

3

，0，3），
設平面DPC的法向量

p

=(x2，y2，z2)，
則

p • PC = 3 x2+3y2-2z2=0 p • PD =2y2-2z2=0

，
取y₂=1，得

p

=(-

3

3

，1，1)，
設二面角B-PC-D的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

-2+3

21 • 7 3

|=

1

7

．
∴二面角B-PC-D的余弦值為

1

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的高的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．