Question

我校70校慶，各屆校友紛至沓來，高73級1班共來了n位校友（n＞8且 n∈N^*），其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”
（Ⅰ）若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于

1

2

，求n的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)n=12時，設(shè)選出的2位校友中女校友人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）所選兩人為“最佳組合”的概率p=

C 1 n-6 C 1 6

C 2 n

=

12(n-6)

n(n-1)

，由此能求出n的最大值．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題可知，所選兩人為“最佳組合”的概率：
p=

C 1 n-6 C 1 6

C 2 n

=

12(n-6)

n(n-1)

，…（3分）
則

12(n-6)

n(n-1)

≥

1

2

．…（4分）
化簡得n²-25n+144≤0，解得9≤n≤16，
∴n的最大值為16．…（6分）
（Ⅱ）由題意得，ξ的可能取值為0，1，2，…（7分）
則P（ξ=0）=

C 2 6

C 2 12

=

5

22

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 1 6

C 2 12

=

6

11

，P（ξ=2）=

C 2 6

C 2 12

=

5

22

，

ξ	0	1	2
P	5 22	6 11	5 22

…（11分）
∴Eξ=0×

5

22

+1×

6

11

+2×

5

22

=1．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．