Question

已知函數(shù)f（x）=lg（（x-1）|ax-1|），
（a∈R）在其定義域上為單調函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：對a討論，當a=0時，當a＜0時，當a＞0時，結合復合函數(shù)的單調性：同增異減，異減一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調性，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=lg（（x-1）|ax-1|），
由（x-1）|ax-1|＞0，
當a=0時，解得x＞1，則f（x）=lg（x-1）在x＞1上遞增，成立；
當a＜0時，定義域為（1，+∞），f（x）=lg（x-1）（1-ax），
令t=（x-1）（1-ax）=-ax²+（a+1）x-1，在x＞1遞增，由y=lgt遞增，可得f（x）遞增，成立；
當a＞0時，由（x-1）|ax-1|＞0，解得x＞1且x≠

1

a

，
當x≥

1

a

時，（x-1）|ax-1|=（x-1）（ax-1），若

1

a

＞1，在x＞1不為單調函數(shù)，
當

1

a

≤1，即a≥1，在x＞1為遞增函數(shù)；
當x＜

1

a

時，y=（x-1）|ax-1|=（x-1）（1-ax），由于拋物線開口向下，在（1，

1

a

）先增后減，則不成立．
綜上可得，a的取值范圍是a≤0或a≥1．
故答案為：（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調性的運用，考查二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性的運用，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．