Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為．已知點(diǎn)，且為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線上，對(duì)角線，互相垂直并且它們的交點(diǎn)恰為點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）[，2]．

【解析】

（1）根據(jù)條件可以判斷出，則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系表示出，，再表示出即可．

解：（1）因?yàn)?/span>為線段中垂線上一點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>，，所以，

則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以軌跡方程為；

（2）因?yàn)閷?duì)角線，互相垂直，所以，中至少有一條斜率存在，

不妨設(shè)的斜率為，

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，故的方程為，

將此式代入得，

設(shè)，，，，則，，

從而，

當(dāng)時(shí)，的斜率為，同上可得，

故四邊形的，

令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，顯然是以為自變量的增函數(shù)，

所以，

綜上所述，四邊形面積的取值范圍是．