【題目】蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點(diǎn)在圓內(nèi).

（1）求證：.

（2）設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).求證：.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程和圓的方程，求出兩根之和與兩根之積，找到相等代換量，從而證明成立.

（2）分別求出點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)式，結(jié)合（1）中得證結(jié)論，從而證明成立.

（1）已知圓的方程為，

直線與圓交于，，聯(lián)立，

化簡得，

則，，所以，

同理線與圓交于，，

聯(lián)立 化簡得，

則，，所以，

故有，所以成立；

（2）不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，化簡得，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，

則，

同理因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，化簡得，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，

則，

又由，可得，，

即，所以，則，

所以，所以成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為單位正方體，黑白兩只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，白螞蟻爬行的路線是，黑螞蟻爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線（其中是自然數(shù)），設(shè)黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩只螞蟻的距離是______________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個(gè)同類班級進(jìn)行試驗(yàn)，其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時(shí)間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表（單位：人）

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計(jì)

甲班

乙班

總計(jì)

（1）能否據(jù)此判斷有把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？

（2）經(jīng)過多次測試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在分鐘，小剛正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時(shí)獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明先正確解答完的概率；

（3）現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的名同學(xué)中任意抽取兩人，并對他們的答題情況進(jìn)行全程研究，記兩人中被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相切于，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)且是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)．

求k值；

若，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式恒成立的t的取值范圍；

若，且在上的最小值為，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．關(guān)于偶函數(shù)的圖象和直線的個(gè)命題如下：

①當(dāng)時(shí)，存在直線與圖象恰有個(gè)公共點(diǎn)；

②若對于，直線與圖象的公共點(diǎn)不超過個(gè)，則；

③，，使得直線與圖象交于個(gè)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等．

其中正確命題的序號是（ ）．

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

10

乙班

30

總計(jì)

已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是(　　)

A. 列聯(lián)表中的值為30，的值為35

B. 列聯(lián)表中的值為15，的值為50

C. 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”

D. 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為．已知點(diǎn)，且為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線上，對角線，互相垂直并且它們的交點(diǎn)恰為點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．

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