Question

【題目】蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點(diǎn)在圓內(nèi).

（1）求證：.

（2）設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程和圓的方程，求出兩根之和與兩根之積，找到相等代換量，從而證明成立.

（2）分別求出點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)表達(dá)式，結(jié)合（1）中得證結(jié)論，從而證明成立.

（1）已知圓的方程為，

直線與圓交于，，聯(lián)立，

化簡得，

則，，所以，

同理線與圓交于，，

聯(lián)立 化簡得，

則，，所以，

故有，所以成立；

（2）不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，化簡得，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，

則，

同理因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，化簡得，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，

則，

又由，可得，，

即，所以，則，

所以，所以成立.