【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）證明：.

【答案】（1）所求切線方程為；（2）

【解析】

試題（1）先求出導函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的幾何意義可得切線斜率，利用點斜式可得切線方程；（2）要證，只需證，利用導數(shù)研究兩函數(shù)的單調性，從而求出兩函數(shù)的最值即可證明，進而可得結論.

試題解析：（1）因為，

所以，

因為，所以曲線在點處的切線方程為.

（2）證明：要證，只需證，

設，

則，

令得，令得，所以，

因為，所以，

又，所以，

從而，即.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性進而求最值以及利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于點，兩點，是該拋物線上位于第一象限內的點.

（Ⅰ） 記直線的斜率分別為，求證：為定值；

（Ⅱ）過點作，垂足為.若關于軸的對稱點恰好在直線上，求的面積.

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【題目】交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T.其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵，晚高峰時段（T≥2），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分直方圖如圖所示.

（1）請補全直方圖，并求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵路段各有多少個？

（2）用分層抽樣的方法從交通指數(shù)在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù)；

（3）從（2）中抽出的6個路段中任取2個，求至少一個路段為輕度擁堵的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角梯形PBCD中，∠D＝∠C，BC＝CD＝2，PD＝4，A為PD的中點，如圖1，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，如圖2．

（1）求證：SA⊥平面ABCD；

（2）若E為SD中點，求D點到面EAC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，底面,,,.

（1）證明;

（2）求異面直線和所成角的余弦值;

（3）求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方

向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這

樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是( )

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點在圓內.

（1）求證：.

（2）設交軸于點，交軸于點.求證：.

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【題目】如圖，在梯形中，，，，平面平面，四邊形是菱形，．

（1）求證：；

（2）求多面體被平面分成兩部分的體積比．

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【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直， ，,點在線段上.

(Ⅰ) 若點為的中點，求證：平面；

(Ⅱ) 求證：平面平面；

(Ⅲ) 當平面與平面所成二面角的余弦值為時，求的長.

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