Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4．沿直線EF將△AEF翻折成△EF，使平面EF⊥平面BEF．

(Ⅰ)求二面角－FD－C的余弦值；

(Ⅱ)點(diǎn)M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與重合，求線段FM的長．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同事考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力． 　　(Ⅰ)解：取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image97.gif" width=29 HEIGHT=20>＝及H是EF的中點(diǎn)，所以， 　　又因?yàn)槠矫?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image100.gif" width=52 HEIGHT=20>平面． 　　如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz 　　則(2，2，)，C(10，8，0)， 　　F(4，0，0)，D(10，0，0)． 　　故＝(－2，2，2)，＝(6，0，0)． 　　設(shè)＝(x，y，z)為平面的一個(gè)法向量， 　　 　　取，則． 　　又平面的一個(gè)法向量， 　　故． 　　所以二面角的余弦值為 　　(Ⅱ)解：設(shè)則， 　　因?yàn)榉酆螅?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image118.gif" width=16 HEIGHT=18>與重合，所以， 　　故，，得， 　　經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上， 　　所以． 　　方法二： 　　(Ⅰ)解：取線段的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image131.gif" width=33 height=17>＝及是的中點(diǎn)， 　　所以 　　又因?yàn)槠矫?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image136.gif" width=44 HEIGHT=17>平面， 　　所以平面， 　　又平面， 　　故， 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image129.gif" width=17 height=18>、是、的中點(diǎn)， 　　易知∥， 　　所以， 　　于是面， 　　所以為二面角的平面角， 　　在中，＝，＝2，＝ 　　所以． 　　故二面角的余弦值為． 　　(Ⅱ)解：設(shè)， 　　因?yàn)榉酆螅?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4820/0020/553bfdc8fb36b9ac8fb4e011f214208b/C/Image118.gif" width=16 HEIGHT=18>與重合， 　　所以， 　　而， 　　 　　得， 　　經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上， 　　所以．