若函數(shù)滿足:在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),使(k為常數(shù)),則稱“f(x)關(guān)于k可線性分解”.
(Ⅰ)函數(shù)是否關(guān)于1可線性分解?請(qǐng)說明理由;
(Ⅱ)已知函數(shù)關(guān)于可線性分解,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式:.
(Ⅰ)是關(guān)于1可線性分解;(Ⅱ)a的取值范圍是;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)函數(shù)是否關(guān)于1可線性分解,關(guān)鍵是看是否存在使得成立,若成立,是關(guān)于1可線性分解,否則不是關(guān)于1可線性分解,故看是否有解,構(gòu)造函數(shù),看它是否有零點(diǎn),而,觀察得,,有根的存在性定理可得存在,使;(Ⅱ)先確定定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f8/0/5jiua2.png" style="vertical-align:middle;" />,函數(shù)關(guān)于可線性分解,即存在,使,即有解,整理得有解,即,從而求出的取值范圍;(Ⅲ)證明不等式:,當(dāng)時(shí),,對(duì)求導(dǎo),判斷最大值為,可得,分別令,疊加可得證結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域是R,若是關(guān)于1可線性分解,
則定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),使得.
構(gòu)造函數(shù)
.
∵,且在上是連續(xù)的,
∴在上至少存在一個(gè)零點(diǎn).
即存在,使. 4分
(Ⅱ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f8/0/5jiua2.png" style="vertical-align:middle;" />.
由已知,存在,使.
即.
整理,得,即.
∴,所以.
由且,得.
∴a的取值范圍是. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1,,.
當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,因此時(shí),的最大值為,所以,即,因此得:,,,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)().
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
⑵如果是曲線上的任意一點(diǎn),若以為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
⑶討論關(guān)于的方程的實(shí)根情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求函數(shù)的解析表達(dá)式;
(2)試討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線與有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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函數(shù),過曲線上的點(diǎn)的切線方程為.
(1)若在時(shí)有極值,求的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,求在[-3,1]上的最大值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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已知
(1)求函數(shù)在上的最小值;
(2)對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對(duì)一切,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定義在上的函數(shù),其中為常數(shù).
(1)當(dāng)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若,在處取得最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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