Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

Answer 1

（1）x²＝4y   （2）見解析

(1)依題意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．
設(shè)B(x，y)，則x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12．
因為點B(4，12)在x²＝2py上，所以(4)²＝2p×12，解得p＝2．故拋物線E的方程為x²＝4y．
(2)方法一：由(1)知y＝x²，y′＝x．
設(shè)P(x₀，y₀)，則x₀≠0，且l的方程為
y－y₀＝x₀(x－x₀)，即y＝x₀x－．
由，得．
所以Q(，－1)．
設(shè)M(0，y₁)，令·＝0對滿足y₀＝ (x₀≠0)的點(x₀，y₀)恒成立．
由于＝(x₀，y₀－y₁)，＝(，－1－y₁)，
由·＝0，得－y₀－y₀y₁＋y₁＋＝0，
即(＋y₁－2)＋(1－y₁)y₀＝0　(*)．
由于(*)式對滿足y₀＝ (x₀≠0)的y₀恒成立，
所以，解得y₁＝1．
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)．