Question

【題目】已知函數f（x）=mln（x+1），g（x）= （x＞﹣1）．
（Ⅰ）討論函數F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線，試求實數m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x） = ﹣ = （x＞﹣1），
當m≤0時，F′（x）＜0，函數F（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減；
當m＞0時，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+ ，函數F（x）在（﹣1，﹣1+ ）上單調遞減；
F′（x）＞0，可得＞﹣1+ ，函數F（x）在（﹣1+ ，+∞）上單調遞增．
綜上所述，當m≤0時，F（x）的減區(qū)間是（﹣1，+∞）；
當m＞0時，F（x）的減區(qū)間是（﹣1，﹣1+ ），
增區(qū)間是（﹣1+ ，+∞）
（Ⅱ）函數f（x）=mln（x+1）在點（a，mln（a+1））處的切線方程為y﹣mln（a+1）= （x﹣a），
即y= x+mln（a+1）﹣ ，
函數g（x）= 在點（b， ）處的切線方程為y﹣ = （x﹣b），
即y= x+ ．
y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線
所以 = （1），mln（a+1）﹣ = （2），
有唯一一對（a，b）滿足這個方程組，且m＞0
由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：
2mln（b+1）+ +mlnm﹣m﹣1=0，關于b（b＞﹣1）的方程有唯一解
令t（b）=2mln（b+1）+ +mlnm﹣m﹣1，
t′（b）= ﹣ = ，
方程組有解時，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+ ）單調遞減，在（﹣1+ ，+∞）上單調遞增．
所以t（b）min=t（（﹣1+ ）=m﹣mlnm﹣1．
由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，
只需m﹣mlnm﹣1=0
令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0為單減函數，
且m=1時，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0，
所以m=1時，關于b的方程2mln（b+1）+ +mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．
此時a=b=0，公切線方程為y=x
【解析】（Ⅰ）求得F（x）的導數，討論當m≤0時，當m＞0時，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；（Ⅱ）分別求出f（x），g（x）在切點處的斜率和切線方程，化為斜截式，可得y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線等價為 = （1），mln（a+1）﹣ = （2），有唯一一對（a，b）滿足這個方程組，且m＞0，消去a，得到b的方程，構造函數，求出導數和單調性，得到最值，即可得到a=b=0，公切線方程為y=x．