如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,∠ABC=90°AB=1;點(diǎn)D、E分別在上,且B1E⊥A1D,四棱錐C-ABDA1與直三棱柱的體積之比為3∶5.■
(1)求異面直線DE與B1C1的距離;
(2)若BC=,求二面角A1-DC1-B1的平面角的正切值.
解法一: (Ⅰ)因,且,故面, 從而,又,故是異面直線與的公垂線. 設(shè)的長(zhǎng)度為,則四棱椎的體積為 . 而直三棱柱的體積為. 由已知條件,故,解之得. 從而. 在直角三角形中,, 又因, 故. (Ⅱ)如答1,過(guò)作,垂足為,連接,因,,故面. 由三垂線定理知,故為所求二面角的平面角. 在直角中,, 又因, 故,所以. 解法二: (Ⅰ)如答圖2,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則, ,,,則,. 設(shè),則, 又設(shè),則, 從而,即. 又,所以是異面直線與的公垂線. 下面求點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè),則. 因四棱錐的體積為
. 而直三棱柱的體積為. 由已知條件,故,解得,即. 從而,,. 接下來(lái)再求點(diǎn)的坐標(biāo). 由,有,即(1) 又由得.(2) 聯(lián)立(1),(2),解得,,即,得. 故. (Ⅱ)由已知,則,從而,過(guò)作,垂足為,連接, 設(shè),則,因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0657/0019/7f160e33214de6897e568302d2ca68bd/C/Image201.gif" width=86 height=26>,故 ① 因且得,即 ② 聯(lián)立①②解得,,即. 則,. . 又,故,因此為所求二面角的平面角.又,從而,故,為直角三角形,所以. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來(lái)源:]
P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(四川卷)解析版 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:四川省高考真題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點(diǎn),P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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