如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,∠ABC=90°AB=1;點(diǎn)D、E分別在上,且B1E⊥A1D,四棱錐C-ABDA1與直三棱柱的體積之比為3∶5.■

(1)求異面直線DE與B1C1的距離;

(2)若BC=,求二面角A1-DC1-B1的平面角的正切值.

答案:
解析:

  解法一:

  (Ⅰ)因,且,故,

  從而,又,故是異面直線的公垂線.

  設(shè)的長(zhǎng)度為,則四棱椎的體積

  

  而直三棱柱的體積

  由已知條件,故,解之得

  從而

  在直角三角形中,

  又因,

  故

  (Ⅱ)如答1,過(guò),垂足為,連接,因,,故

  由三垂線定理知,故為所求二面角的平面角.

  在直角中,

  又因,

  故,所以

  解法二:

  (Ⅰ)如答圖2,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,

  ,,,則,

  設(shè),則,

  又設(shè),則

  從而,即

  又,所以是異面直線的公垂線.

  下面求點(diǎn)的坐標(biāo).

  設(shè),則

  因四棱錐的體積

  

  

  而直三棱柱的體積

  由已知條件,故,解得,即

  從而,

  接下來(lái)再求點(diǎn)的坐標(biāo).

  由,有,即(1)

  又由.(2)

  聯(lián)立(1),(2),解得,,即,得

  故

  (Ⅱ)由已知,則,從而,過(guò),垂足為,連接,

  設(shè),則,因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0657/0019/7f160e33214de6897e568302d2ca68bd/C/Image201.gif" width=86 height=26>,故

                ①

  因,即

                ②

  聯(lián)立①②解得,,即

  則,

  

  又,故,因此為所求二面角的平面角.又,從而,故,為直角三角形,所以


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