Question

已知F₁、F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為

2

2

，過左焦點(diǎn)F₁的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，△ABF₂面積的最大值為3

2

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：當(dāng)AB與橢圓的長(zhǎng)軸垂直時(shí)，△ABF₂面積取最大值，此時(shí)|AB|=

2b2

a

，AB邊上的高為2c，結(jié)合橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

和a²=b²+c²，可得橢圓C的方程．

解答： 解：當(dāng)AB與橢圓的長(zhǎng)軸垂直時(shí)，△ABF₂面積取最大值，
此時(shí)|AB|=

2b2

a

，
AB邊上的高為2c，
∵此時(shí)△ABF₂面積為3

2

，
故

1

2

×

2b2

a

×2c=3

2

，
又∵橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

，
又由a²=b²+c²，
解得：a²=6，b²=3，
故橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，由已知構(gòu)造方程，求出a²=6，b²=3，是解答的關(guān)鍵．