Question

已知圓C：x²+y²+4x-6y+8=0，直線l過定點M（-1，2）．
（Ⅰ）若直線l與圓C交于不同的兩點AB，且|AB|=3

2

，求直線l的方程；
（Ⅱ）求直線l被圓C所截弦長最短時直線l的方程以及最短長度．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）將圓C化為標準方程，求出圓心和半徑，根據|AB|=2=4，求出弦心距d，可得直線的斜率，再由點斜式求得直線的方程．
（Ⅱ）當直線l過點M（-1，2）且與CM垂直時弦長最短，此時k_CM的值，可得k_l=1，點斜式求得直線l的方程，求出弦心距，從而求得弦長．

解答： 解：（Ⅰ）將圓C化為標準方程（x+2）²+（y-3）²=5，它是以C（-2，3）為圓心，

5

為半徑的圓．
當直線l垂直x軸時，直線l的方程為x=-1，圓心到直線x=-1的距離為1，
由于|AB|=2

5-1

=4，故不合題意．
當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，圓心到直線l的距離為d，
則d=

|-2k-3+k+2|

k2+1

=

r2-( AB 2 )2

=

5- 18 4

=

2

2

，
兩邊平方化簡得k²+4k+1=0，解得k=-2+

3

，或者k=-2-

3

，
故直線l的方程為（-2+

3

）x-y+

3

=0或（-2-

3

）x-y-

3

=0，
即 （2-

3

）x+y-

3

=0或（2+

3

）x+y+

3

=0．
（Ⅱ）當直線l過點M（-1，2）且與CM垂直時弦長最短，此時k_CM=-2+13-2=-1，
則k_l=1，故直線l的方程為x-y+3=0，弦心距d=

|-2-3+3|

2

=

2

，弦長為2

r2-d2

=2

3

．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．