Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；             
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（Ⅲ）寫出f（x）的單調區(qū)間．（不必證明）

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（I）根據對數函數的真數部分必為正，構造不等式，可求出函數的定義域；
（II）由已知中函數解析式，求出f（-x）的解析式，并根據對數的運算性質，判斷出f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，判斷出函數為奇函數；
（III）根據對數函數單調性與底數的關系及復合函數同增異減的原則，可得到函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）由對數函數的定義知

1+x

1-x

＞0
解得-1＜x＜1
故f （x）的定義域為（-1，1）…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=loga

1+x

1-x

∴f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f （x）為奇函數…（8分）
（Ⅲ）故當a＞1時，f（x）在區(qū)間（-1，1）單調遞增；
當0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間（-1，1）單調遞減．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數的定義域，函數的奇偶性，函數的單調性，熟練掌握對數函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．