Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（1）p=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若對任意的，恒有f（x）≤p²x²，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）p=1，f'（1）=1-1=0，f（1）=0-1+1=0，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y=0（2分）
（2）
當(dāng)p≤0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增，函數(shù)f（x）無極值；　　�。�4分）
當(dāng)p＞0時，上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；上f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∴f（x）的極大值為，f（x）無極小值　　　　�。�6分）
（3）記g（x）=f（x）-p²x²=lnx-px+1-p²x²（x＞0）
∴（7分）
當(dāng)p=0時，g（x）=lnx+1，g（e）＞0不符合條件　　　　　�。�8分）
當(dāng)p＞0時，px+1＞0，上g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；上g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
∴g（x）的最大值為，∴（10分）
當(dāng)p＜0時，2px-1＜0，上g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；上g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
∴g（x）的最大值為，∴p≤-e
故p的取值范圍是（12分）
分析：（1）求出切線斜率，切點坐標(biāo)，可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的極值；
（3）記g（x）=f（x）-p²x²=lnx-px+1-p²x²（x＞0），求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定g（x）的最大值，解不等式，可求p的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)與分類是關(guān)鍵．