Question

f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2015

2015

，設函數(shù)h（x）=f（x+3）•g（x-4），若函數(shù)h（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：先判斷零點可能所在的區(qū)間、個數(shù)，因此需要研究函數(shù)的單調(diào)性，所以先對兩個函數(shù)求導，研究單調(diào)性，又因為是研究函數(shù)f（x+3）•g（x-4）的零點，因此只需研究f（x+3）與g（x-4）的零點即可，再結合圖象平移變換的知識，可將問題解決．

解答： 解：由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2014=

1-(-x)2015

1-(-x)

=

1+x2015

1+x

可得：
當x＞0時，有f'（x）＞0；當x＜0時，有f'（x）＞0；且f（0）=1．
所以當x＞0時，有f（x）≥1＞0；
當x＜0時，有y=f（x）單調(diào)遞增，
又f(-1)=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

2015

＜0，所以在（-1，0）上函數(shù)y=f（x）有且只有一個零點，即f（x+3）在（-4，-3）上有且只有一個零點．
同理，由g′(x)=-1+x-x2+x3-…-x2014=-[f′(x)]=-

1+x2015

1+x

可得：
當x＞0時，有g'（x）＜0；當x＜0時，有g'（x）＜0；且g（0）=1．
所以當x＜0時，有g（x）≥1＞0；
當x＞0時，有y=g（x）單調(diào)遞減，
又g(1)=1-1+

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2015

＞0，

g(2)=1-2+ 22 2 - 23 3 + 24 4 -…- 22015 2015 =-1+22( 1 2 - 2 3 )+24( 1 4 - 2 5 )+…+22014( 1 2014 - 2 2015 )＜0

，
所以在（1，2）上函數(shù)g（x）有且只有一個零點，即g（x-4）在（5，6）上函數(shù)有且只有一個零點．
由于函數(shù)h（x）=f（x+3）•g（x-4）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，所以b≥6，a≤-4，即b-a≥10，
所以b-a的最小值為10．

點評：本題綜合考查了利用函數(shù)思想來研究函數(shù)零點的問題的一般思路，屬于中檔題．